mulher pelada do jeito que veio ao mundo: só que maior

História das Seqüências e Séries

História das Seqüências e Séries

 

        Zenão de Eléa (490–425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao contínuo e ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da matemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não sobreviveu até os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertaram matemáticos por séculos. No final eles envolvem a soma de um número infinito de termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das propriedades de seqüências e séries. Este ensaio destaca as contribuições de alguns daqueles matemáticos que estudaram seqüências e séries.


        Zenão não foi o único matemático da antiguidade a trabalhar com seqüências. Vários dos matemáticos gregos da antiguidade usaram seu método de exaustão (um argumento seqüencial) para mediar áreas de figuras e regiões. Usando sua técnica refinada de raciocínio chamada de “método”, Arquimedes (287– 212 a.C.) alcançou vários resultados importantes envolvendo áreas e volumes de várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e tentou explicar como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários resultados estava que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base vezes a altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticos que vieram depois e desenvolveram seqüências e séries como Newton e Leibniz, mas foi tão impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pela falta de precisão e notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da análise moderna de seqüências e séries.


        O próximo contribuinte importante para esta área da matemática foi Fibonacci (1170–1240). Ele descobriu uma seqüência de inteiros na qual cada número é igual à soma dos dois antecessores (1,1,2,3,5,8,…), introduzindo-a em termos de modelagem de uma população reprodutiva de coelhos. Esta seqüência tem muitas propriedades curiosas e interessantes e continua sendo aplicada em várias áreas da matemática moderna e ciência. Durante o mesmo período, astrônomos chineses desenvolveram técnicas numéricas para analisar resultados experimentais. Durante os séculos 13 e 14, matemáticos chineses usaram a idéia de diferenças finitas para analisar tendências em seus dados. Hoje, métodos como os deles são usados para entender o comportamento a longo prazo e os limites de seqüências infinitas. Este trabalho inicial na Ásia levou a mais investigação e análise de várias progressões e séries mas teve pouca influência sobre os matemáticos europeus.
 

        Oresme (1325–1382) estudou taxas de variação, como velocidade e aceleração, usando uma aproximação seqüencial. Seu principal trabalho, De configurationibus, foi o primeiro a apresentar gráficos de velocidade. O argumento que usamos para mostrar a divergência da série harmônica foi inventado por Oresme em sua publicação. Duzentos anos depois, Stevin (1548–1620) avançou a matemática providenciando uma simbologia mais fácil de se compreender. Ele entendeu os conceitos físicos e matemáticos da aceleração devido à gravidade. Somou séries e analisou seqüências, mas parou um pouco antes de definir ou explicar limites e convergência. O contemporâneo de Stevin, Galileu (1564–1642), aplicou matemática às ciências especialmente astronomia. Baseado no seu estudo de Arquimedes, Galileu melhorou a compreensão de hidrostática, desenvolveu os resultados para o movimento em queda livre sob a ação da gravidade e os movimentos dos planetas. Até sugeriu que poderia existir uma terceira propriedade entre o finito e o infinito. Galileu deixou seus sucessores com conselhos e desafios encontrados nas duas citações a seguir:
 

Onde os sentidos falham, a razão deve entrar.
Infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, o primeiro por conta de sua magnitude, o segundo pela sua pequenez; imagine o que eles são quando combinados.
 

        À medida que o desenvolvimento do cálculo foi tomando forma, o progresso no entendimento de séries infinitas teve um papel no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Pascal (1623–1662) era fascinado pelos resultados impressionantes que vinham das somas infinitas, mas era confundido pelo seu conceito. Para ele, o infinito era alguma coisa para admirar, mas impossível de entender. Pascal preferiu a abordagem geométrica de St. Vincent (1584–1667) para séries e sua convergência em vez da nova abordagem analítica de Fermat (1601–1665) e Descartes (1596–1650) que não conseguia visualizar ou entender. Apesar da limitação de Pascal para entender séries, ele, junto com Descartes e Fermat, usou cálculos com séries nas contribuições aos fundamentos do cálculo diferencial e integral.
 

        Até a metade do século 17, matemáticos tinham desenvolvido e analisado séries de números. O tempo tinha chegado para investigar seqüências e séries de funções. Ambos Newton (1642–1727) e Leibniz (1646–1716) desenvolveram representações de séries para funções. Usando métodos algébricos e geométricos, Newton calculou as séries para as funções trigonométricas sen(x) e cos(x) e para a função exponencial. Estes resultados são encontrados nos trabalhos de Newton intitulados Method of Fluxions and Infinite Series e Analysis with Infinite Series. Newton utilizou séries para desenvolver muitos resultados de cálculo, tais como área, comprimento de arco e volumes. Leibniz somou seqüências de recíprocas de números poligonais e, seguindo o trabalho de St. Vincent, somou e analisou várias seqüências geométricas. Leibniz usou uma abordagem seqüencial de valores infinitamente próximos para explicar o conceito de limite. Embora nunca tenha pensado na derivada como um limite, descobriu muitos dos resultados que agora estudamos em cálculo usando limites.
 

        Brook Taylor (1685–1731) não foi o primeiro a inventar a estrutura e o processo que chamamos de série de Taylor, e a série de Maclaurin não foi desenvolvida por Colin Maclaurin (1698–1746). James Gregory (1638–1675) estava trabalhando com séries de Taylor quando Taylor tinha apenas alguns anos de idade. Gregory também publicou a série de Maclaurin para muitas funções trigonométricas antes que Maclaurin tivesse nascido. Taylor não conhecia o trabalho de Gregory quando publicou seu livro Methodus incrementorum directa et inversa, o qual continha o que chamamos agora de série de Taylor. Ele tinha desenvolvido independentemente um método baseado em cálculo para gerar representações de funções em séries. Posteriormente, Maclaurin citou um trabalho de Taylor em um livro de cálculo que escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou representações de funções em séries, e embora Maclaurin nunca tenha afirmado que as tinha descoberto, a série de Taylor centrada em a = 0 tornou-se posteriormente conhecida como série de Maclaurin. Johann Bernoulli (1667–1748) também fez uma descoberta independente do teorema de Taylor.
 

        Euler (1707–1783) usou freqüentemente séries infinitas em seu trabalho para desenvolver novos métodos ou para modelar problemas aplicados. Publicou Mechanica em 1736, onde aplicou sistematicamente o cálculo à mecânica e desenvolveu novos métodos para resolver equações diferenciais usando séries de potências. Estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, usando sigma para o símbolo da soma. D’Alembert (1717–1783) escreveu cinco artigos lidando com métodos para integrar equações diferenciais. Embora tenha recebido pouca educação científica formal, é claro que ele conhecia os trabalhos de Newton, L’Hospital e dos Bernoullis. D’Alembert publicou muitos trabalhos sobre matemática e física matemática, culminado com seu trabalho principal, Traité de dynamique. Considerou a derivada como um limite da diferença de quocientes, o que o colocou à frente dos seus pares no entendimento do cálculo. Também desenvolveu o teste da razão para determinar a convergência de muitas séries. Através do trabalho de D’Alembert, a natureza da pesquisa sobre séries estava mudando de cálculos práticos para uma fundamentação mais teórica. 
 

        Lagrange (1736–1813) estendeu o trabalho de Euler nas equações de movimento e o entendimento da energia potencial. Publicou Mécanique analytique (1787), que aplicava cálculo ao movimento de objetos. O maior trabalho de Lagrange foi na teoria e aplicação do cálculo. Ele sentiu que a série de Taylor desempenhava um papel fundamental no entendimento do cálculo, embora ainda evitasse o limite e as propriedades de convergência de seqüências e séries. Bolzano (1781-1848) confrontou este assunto, apontando que a convergência era importante para entender e usar séries. Tentou explicar convergência associando-a com a idéia de subconjuntos limitados. Bolzano acreditava no método de Lagrange para usar séries de Taylor como a base para o cálculo. Fourier (1768–1830) fez contribuição ao estudo e cálculo da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. Théorie analytique de la chaleur (A Teoria Analítica do Calor, 1822) contém uso extenso de séries consistindo de funções trigonométricas que hoje chamamos de séries de Fourier. Apesar disso, contribuiu muito pouco para a teoria destas séries, as quais eram conhecidas, muito antes, por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange.
 

        Finalmente, a comunidade matemática foi motivada a estabelecer fundamentos mais teóricos para as idéias de limite e convergência de seqüências e séries. Cauchy (1789-1857) foi o primeiro a definir por completo as idéias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas. Este trabalho foi feito em conjunto com o desenvolvimento de uma análise rigorosa do cálculo. Também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a transformada de Fourier para equações diferenciais. Contudo, ambos Cauchy e seu colega Niels Henrik Abel (1802–1829) ignoraram a utilidade das séries divergentes. Abel escreveu em 1828 “séries divergentes são a invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração”.
 

        Runge (1856–1927) desenvolveu o método de resolução baseado em seqüências para solucionar numericamente equações diferenciais junto com M. W. Kutta (1867–1944). Seqüências e séries tornaram-se ferramentas padrão para aproximar funções e calcular resultados em computação numérica. 
 

        O matemático indiano autodidata Srinivasa Ramanujan (1887–1920) usou seqüências e séries de potências para desenvolver resultados em teoria de números. O trabalho de Ramanujan era teórico e produziu numerosos resultados importantes usados por matemáticos no século 20. Seus colaboradores britânicos Godfrey Harold (G.H.) Hardy (1877–1947) e John Littlewood (1885–1977) usaram seu conhecimento de séries para produzir avanços importantes em teoria de números e estenderam a utilidade das séries para muitas áreas da matemática.

Anúncios

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair / Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair / Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair / Alterar )

Foto do Google+

Você está comentando utilizando sua conta Google+. Sair / Alterar )

Conectando a %s